Este artículo se lee en aproximadamente 5 minutos

Explicación matemática del criterio de Kelly

El criterio de Kelly es una fórmula que deriva matemáticamente la proporción óptima de apuesta para maximizar la tasa de crecimiento patrimonial a largo plazo. Se expresa como f* = (bp - q) / b, donde f* es la proporción óptima de inversión, b es el múltiplo de ganancia en caso de acierto, p es la probabilidad de acierto y q es la probabilidad de fallo (1 - p).

Por ejemplo, con una probabilidad de acierto del 60%, ganancia de 1.5 veces la apuesta y pérdida de 1 vez la apuesta: f* = (1.5 × 0.6 - 0.4) / 1.5 = 0.33. Invertir el 33% del patrimonio es matemáticamente óptimo. Invertir más eleva drásticamente el riesgo de ruina, e invertir menos reduce la tasa de crecimiento.

La esencia del criterio de Kelly es la maximización de la tasa de crecimiento compuesto (media geométrica del retorno). El punto clave es que maximiza la media geométrica, no la aritmética, lo que refleja con precisión el efecto compuesto en la inversión a largo plazo. Para productos como los ETF 3x, cuyo precio se forma por capitalización compuesta diaria, el enfoque del criterio de Kelly es particularmente adecuado.

Aplicación del criterio de Kelly a ETF 3x

Para aplicar el criterio de Kelly a ETF 3x, se calculan la tasa de acierto y la ratio ganancia/pérdida a partir de datos de retornos mensuales. Con datos mensuales de TQQQ de 2015-2025, la tasa de acierto (proporción de meses con retorno positivo) fue del 62%, el retorno medio en meses ganadores fue +18.5% y el retorno medio en meses perdedores fue -14.2%.

Aplicando el criterio de Kelly: b = 18.5 / 14.2 = 1.30, p = 0.62, q = 0.38, resultando f* = (1.30 × 0.62 - 0.38) / 1.30 = 0.33. Es decir, asignar el 33% del portafolio a TQQQ es la proporción matemáticamente óptima.

Sin embargo, aplicar el Kelly completo (f* directamente) es demasiado arriesgado en la práctica. El criterio de Kelly presupone «no quebrar», pero en la realidad se necesita tolerancia psicológica y asegurar fondos para la vida diaria. Desde la perspectiva del drawdown máximo, con Kelly completo y 33% en TQQQ, el portafolio total caería -24% en una fase bajista como la de 2022.

Resultados del criterio de Kelly con datos históricos de TQQQ y SPXL

Con datos mensuales de SPXL (3x S&P 500): tasa de acierto 65%, retorno medio ganador +12.8%, retorno medio perdedor -11.5%. El criterio de Kelly da f* = (1.11 × 0.65 - 0.35) / 1.11 = 0.34, prácticamente el mismo 34% de asignación óptima que TQQQ.

SOXL (3x índice de semiconductores) tiene tasa de acierto 58%, retorno medio ganador +24.3%, retorno medio perdedor -18.7%, resultando f* = 0.28. Al tener mayor volatilidad, la asignación óptima es menor. Esto demuestra que el criterio de Kelly refleja adecuadamente el riesgo (varianza).

Al combinar múltiples ETF 3x, se necesita el criterio de Kelly multivariante que considera correlaciones. La correlación entre TQQQ y SPXL es 0.85, muy alta, por lo que mantener ambos ofrece diversificación limitada. La correlación entre TQQQ y TMF (3x bonos a largo plazo) es -0.35, y combinarlos permite elevar la asignación óptima según Kelly.

Kelly completo vs medio Kelly vs cuarto de Kelly

El Kelly completo (f* = 33%) es la solución teóricamente óptima, pero el drawdown máximo puede superar -50%. Pocos inversores pueden soportarlo psicológicamente, y el riesgo de ventas por pánico es alto.

El medio Kelly (f*/2 = 16.5%) mantiene el 75% de la tasa de crecimiento del Kelly completo mientras reduce el drawdown máximo aproximadamente a la mitad. Ofrece el mejor equilibrio entre riesgo y retorno y es el nivel recomendado para la mayoría de inversores. Incluso en la fase bajista de 2022, la pérdida del portafolio total se limitaría a aproximadamente -12%.

El cuarto de Kelly (f*/4 = 8%) es una asignación conservadora donde la tasa de crecimiento baja al 44% del Kelly completo, pero el drawdown máximo se limita a aproximadamente -6%. Es adecuado para principiantes en ETF 3x o inversores con baja tolerancia al riesgo.

La recomendación práctica es determinar la asignación entre medio Kelly y cuarto de Kelly según la experiencia inversora y la tolerancia psicológica. Inversores que han experimentado drawdowns superiores al -20% sin vender pueden optar por medio Kelly; los demás deberían comenzar con cuarto de Kelly.

Posicionamiento en el portafolio global - Estrategia core-satellite

En la estrategia core-satellite, el 80-90% del portafolio se compone de core (fondos indexados, bonos y otros activos de bajo riesgo) y el 10-20% restante se asigna a satellite (activos de alto riesgo como ETF 3x). Esta estructura es coherente con el rango de medio Kelly a cuarto de Kelly.

La parte core genera retornos estables mientras que el satellite de ETF 3x impulsa el retorno total del portafolio. Si el core rinde +7% anual y el satellite (15% de asignación) rinde +30% anual, el retorno total del portafolio es +10.5%. Comparado con el +7% del core solo, se obtiene un alfa de +3.5%.

Incluso si el satellite se pierde totalmente, la pérdida del portafolio se limita al 15%. Este diseño de «no ser fatal ni en el peor escenario» es la clave para utilizar los ETF 3x de forma segura. Desde la perspectiva compuesta, el crecimiento estable del core absorbe las pérdidas del satellite y mantiene el crecimiento patrimonial a largo plazo.

Asignaciones recomendadas por edad y patrimonio

Década de los 20 (patrimonio inferior a 5 millones de yenes, capital humano elevado): se puede asignar 20-25% a ETF 3x. Incluso si se pierde todo, el capital humano (ingresos laborales futuros) permite la recuperación, lo que justifica un riesgo agresivo.

Década de los 30 (patrimonio 10-30 millones de yenes): el objetivo es 15-20%. Si se prevén formación familiar o compra de vivienda, reducir al 10%. El capital humano sigue siendo significativo, pero también es necesario asegurar liquidez para eventos vitales.

Década de los 40 (patrimonio 30-50 millones de yenes): 10-15% es apropiado. A medida que crece el patrimonio, el mismo porcentaje implica mayor riesgo en términos absolutos. El 15% de 30 millones son 4.5 millones de yenes, y el daño psicológico de una pérdida total no es despreciable.

A partir de los 50 (patrimonio superior a 50 millones de yenes): limitar al 5-10%. Con poco tiempo hasta la jubilación, el tiempo para recuperar pérdidas es limitado. Se debe diseñar un glide path que reduzca gradualmente la asignación a ETF 3x hasta cero a los 60 años.

Cálculo inverso desde la pérdida máxima admisible

Para determinar el tamaño de posición con números en lugar de intuición, es eficaz el método de cálculo inverso desde la pérdida máxima admisible. Primero se define en términos monetarios «cuánto puedo perder en ETF 3x sin que afecte mi vida». Si el límite admisible es 2 millones de yenes, calculando inversamente desde el drawdown máximo de ETF 3x (asumiendo -80%), el monto máximo de inversión es 2.5 millones de yenes.

Se verifica la coherencia con el criterio de Kelly según qué porcentaje del patrimonio total representan esos 2.5 millones. Con un patrimonio total de 20 millones es 12.5% (cercano al cuarto de Kelly), con 10 millones es 25% (cercano al medio Kelly).

La pérdida máxima admisible debe establecerse después de asegurar 6 meses de gastos de vida. No se debe exponer el fondo de emergencia al riesgo de los ETF 3x. Para maximizar el efecto compuesto se presupone la tenencia a largo plazo, y debe evitarse la situación de verse forzado a vender a mitad de camino por falta de fondos para vivir.

Los métodos prácticos de gestión de riesgo se pueden estudiar en libros disponibles en Amazon.