"如果更频繁地计算复利会怎样？"
存入10,000日元，年利率100%，一年后你有20,000日元。但如果每半年以50%计息呢？那么 10,000 × 1.5 × 1.5 = 22,500日元-比年复利多了2,500日元。每月(12次)?10,000 × (1 + 1/12)^12 = 约26,130日元。每天(365次)?10,000 × (1 + 1/365)^365 = 约27,146日元。
复利频率越高，最终金额越大。那么如果无限频繁地计算复利，金额会无限增长吗？1683年，瑞士数学家雅各布·伯努利着手回答这个问题。
答案是"不会无限增长" - e出现了
伯努利的计算揭示了一个惊人的事实：即使复利频率趋近于无穷大，金额也会收敛到一个有限值。当n趋近于无穷大时，10,000 × (1 + 1/n)^n 的极限约为27,183日元-约为原始存款的2.7183倍。这个数字2.71828...，后来被称为欧拉数e，是数学中最重要的常数之一。
年利率100%存入10,000日元，一年后的金额
| 计息间隔 | 计算式 | 一年后的金额 | 比上一行多出的金额 |
|---|---|---|---|
| 每年1次 | 10,000 × 2 | 20,000日元 | - |
| 每半年 | 10,000 × (1 + 1/2)^2 | 22,500日元 | +2,500日元 |
| 每三个月 | 10,000 × (1 + 1/4)^4 | 24,414日元 | +1,914日元 |
| 每月 | 10,000 × (1 + 1/12)^12 | 26,130日元 | +1,716日元 |
| 每天 | 10,000 × (1 + 1/365)^365 | 27,146日元 | +1,016日元 |
| 无限频繁 | 10,000 × e | 约27,183日元 | +37日元 |
间隔越短金额确实越多，但每往下一行，增加的幅度都比上一行更小。从每天缩短到无限频繁，多出来的只有约37日元。把27,183日元这个上限除以最初的10,000日元，得到的2.71828...就是e的真面目。
正如圆周率π(3.14159...)源于圆的几何学，e(2.71828...)源于复利的数学。你在教科书中遇到的e，实际上是通过一个非常实际的问题被发现的："当利息支付变得无限精细时会发生什么？"
e不仅存在于金融领域，而是无处不在
诞生于复利的e已经超越了金融世界，出现在整个自然界中。放射性衰变率、细菌生长曲线、悬索桥缆绳的形状，甚至你智能手机无线信号的衰减-所有这些都由包含e的方程描述。一个通过金钱问题发现的数字竟成为描述宇宙法则的工具，这说明复利不仅仅是一种金融技术，而是自然界的基本原理。