"¿Qué pasa si capitalizamos los intereses con más frecuencia?"
Deposita 10.000 yenes al 100% de interés anual y después de un año tienes 20.000 yenes. Pero ¿qué pasa si el interés se capitaliza cada seis meses al 50%? Entonces 10.000 x 1,5 x 1,5 = 22.500 yenes, 2.500 yenes más que la capitalización anual. ¿Mensualmente (12 veces)? 10.000 x (1 + 1/12)^12 = aproximadamente 26.130 yenes. ¿Diariamente (365 veces)? 10.000 x (1 + 1/365)^365 = aproximadamente 27.146 yenes.
Cuanto más frecuentemente se capitaliza, mayor es el monto final. Entonces, si capitalizas infinitamente, ¿el monto crece sin límite? En 1683, el matemático suizo Jacob Bernoulli se propuso responder exactamente esta pregunta.
La respuesta es "No crece sin límite" - y aparece e
El cálculo de Bernoulli reveló algo notable: incluso cuando la frecuencia de capitalización se aproxima al infinito, el monto converge a un valor finito. Tomando el límite de 10.000 x (1 + 1/n)^n cuando n tiende a infinito se obtiene aproximadamente 27.183 yenes, unas 2,7183 veces el depósito original. Ese número, 2,71828..., más tarde se conocería como el número de Euler e, una de las constantes más importantes en matemáticas.
10.000 yenes al 100% de interés anual, un año después
| Intervalo de capitalización | Cálculo | Monto al cabo de un año | Aumento sobre la fila anterior |
|---|---|---|---|
| Una vez al año | 10.000 x 2 | 20.000 yenes | - |
| Cada seis meses | 10.000 x (1 + 1/2)^2 | 22.500 yenes | +2.500 yenes |
| Cada tres meses | 10.000 x (1 + 1/4)^4 | 24.414 yenes | +1.914 yenes |
| Mensualmente | 10.000 x (1 + 1/12)^12 | 26.130 yenes | +1.716 yenes |
| Diariamente | 10.000 x (1 + 1/365)^365 | 27.146 yenes | +1.016 yenes |
| Infinitas veces | 10.000 x e | aproximadamente 27.183 yenes | +37 yenes |
Acortar el intervalo sí añade dinero, pero cada escalón de la tabla aporta menos que el anterior. Pasar de la capitalización diaria a la infinita vale solo unos 37 yenes. Si divides ese techo de 27.183 yenes entre los 10.000 yenes iniciales obtienes 2,71828..., y eso es exactamente lo que es e.
Así como pi (3,14159...) surge de la geometría de los círculos, e (2,71828...) surge de las matemáticas del interés compuesto. El e que encuentras en los libros de texto fue en realidad descubierto a través de una pregunta completamente práctica: "¿Qué pasa cuando haces los pagos de intereses infinitamente finos?"
e está oculto en todas partes, no solo en las finanzas
Nacido del interés compuesto, e ha escapado del mundo de las finanzas y aparece en toda la naturaleza. Las tasas de desintegración radiactiva, las curvas de crecimiento bacteriano, la forma de los cables de puentes colgantes, incluso la atenuación de la señal de radio de tu smartphone: todo se describe mediante ecuaciones que contienen e. El hecho de que un número descubierto a través de un problema monetario se convirtiera en una herramienta para describir las leyes del universo demuestra que el interés compuesto no es simplemente una técnica financiera sino un principio fundamental de la naturaleza.