凯利公式的起源及其在投资中的应用
凯利公式是贝尔实验室数学家 John Kelly 于 1956 年在信息论背景下发表的公式。最初是优化噪声通信信道信息传输的理论，其数学结构被发现与确定赌博和投资中最优下注规模的问题相同，从而被广泛应用于资金管理。凯利公式的核心是计算「最大化资产长期复合增长率的投资比例」。
在最简单的形式中，凯利公式表示为 f* = (bp - q) / b，其中 f* 是相对于资产的最优投资比例，b 是获胜时的利润倍数，p 是获胜概率，q 是失败概率（1 - p）。例如，给定一个胜率 60%、获胜收益 100%、失败损失 100% 的投资机会，凯利公式计算 f* = (1 x 0.6 - 0.4) / 1 = 0.2，意味着投入资产的 20% 是最优的。超过这一比例的投资短期内可能产生更大收益，但长期复合增长率实际上会下降。
全凯利的危险与分数凯利
全凯利（按凯利公式指示的确切比例投资）在实践中极其危险，原因有三。首先，如果对胜率和利润倍数的估计不准确，凯利公式的输出也会不准确。在投资世界中，准确估计概率很困难，估计误差直接转化为过度投资风险。其次，全凯利导致非常大的回撤（资产暂时下降）。理论上，超过资产 50% 的最大回撤并不罕见，很少有投资者能在心理上承受这一点。凯利公式与风险管理相关书籍也对全凯利的实际危险进行了详细分析。
第三，凯利公式假设对数效用函数，这并不能准确反映每个投资者的风险偏好。在实践中，「分数凯利」被广泛使用——投入凯利公式的一半（半凯利）或四分之一（四分之一凯利）。半凯利将复合增长率降低到全凯利的约 75%，同时显著减少回撤。它还提高了对估计误差的稳健性，这就是为什么许多从业者推荐半凯利或更少。
将凯利公式应用于股票投资的注意事项
将凯利公式应用于股票投资时，需要处理连续收益分布而非简单的二元胜负结果。连续分布版本的凯利公式近似为 f* = (mu - r) / sigma²，其中 mu 是预期收益，r 是无风险利率，sigma² 是收益的方差。例如，对于预期收益 10%、无风险利率 2%、标准差 20% 的股票投资组合，f* = (0.10 - 0.02) / 0.04 = 2.0，表明 2 倍杠杆是最优的。
然而，直接执行这一结果是危险的。必须考虑预期收益的估计误差、收益分布偏离正态性（肥尾）以及交易和杠杆成本等现实约束。仓位管理与量化分析相关书籍介绍了将凯利公式应用于实际投资组合管理的具体调整方法。明智的做法是将凯利公式作为「投入多少」上限的指标，将实际投资比例保持在一半或以下。
将凯利公式纳入资金管理的下一步行动
要将凯利公式的思维纳入投资，首先确定当前投资组合中风险最高的仓位，计算它占总资产的百分比。如果你将超过 30% 的资产集中在单一股票上，很可能远超全凯利，回撤风险过大。遵循半凯利原则，目标是将任何单一仓位保持在总资产的 10-15% 以下。
作为更实用的方法，在进行新投资之前，预先决定「这项投资我能容忍的最大百分比损失是多少」，并反向计算仓位规模使损失金额保持在总投资组合的 2-5% 以内。使用复利计算器模拟不同仓位规模下的长期资产增长，亲身体验过度集中如何通过波动性拖累降低复合增长率。